根据法律规定，与员工签订劳动合同是用人单位的责任，如果员工不签订，用人单位应书面通知，员工仍不签订的，用人单位应书面通知解除劳动关系。依据劳动合同法第十条、第八十二条第一款规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，自用工之日满一个月的次日起开始计算二倍工资，截止点为双方订立书面劳动合同的前一日，最长不超过十一个月。因此，如果该名员工迟迟不与公司签订劳动合同，公司应书面通知其签订，其仍不签订的，应通知其解除劳动关系。如果员工一再拖延，且公司除了管理人员的口头告知外，没有任何行动，那么一旦超过了一个月的宽限期，公司将面临支付双倍工资的问题。
法律依据:
《中华人民共和国劳动合同法》
《劳动合同法》
第七条 用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。用人单位应当建立职工名册备查。
第十九条 劳动合同期限三个月以上不满一年的，试用期不得超过一个月；劳动合同期限一年以上不满三年的，试用期不得超过二个月；三年以上固定期限和无固定期限的劳动合同，试用期不得超过六个月。
同一用人单位与同一劳动者只能约定一次试用期。 以完成一定工作任务为期限的劳动合同或者劳动合同期限不满三个月的，不得约定试用期。 试用期包含在劳动合同期限内。劳动合同仅约定试用期的，试用期不成立，该期限为劳动合同期限。
第二十条 劳动者在试用期的工资不得低于本单位相同岗位最低档工资或者劳动合同约定工资的百分之八十，并不得低于用人单位所在地的最低工资标准。
第八十二条 用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
用人单位违反本法规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。