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刑事拘留37天内可以申请取保候审。根据《刑事诉讼法》第六十七条规定，人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：1. 可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；2. 可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；3. 患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；4. 羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。在刑事拘留37天这个阶段，案件正处于侦查、审查批捕的关键时期。犯罪嫌疑人及其家属若认为符合上述条件，可向相关司法机关提出取保候审申请。司法机关会根据具体案件情况进行审查判断，决定是否批准取保候审。
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