农民承包合同可以私下转让吗

不可以。
《民法典》第五百四十五条【债权转让】债权人可以将债权的全部或者部分转让给第三人，但是有下列情形之一的除外：
(一)根据债权性质不得转让;
(二)按照当事人约定不得转让;
(三)依照法律规定不得转让。
当事人约定非金钱债权不得转让的，不得对抗善意第三人。当事人约定金钱债权不得转让的，不得对抗第三人。
《民法典》第五百四十六条【债权转让通知】债权人转让债权，未通知债务人的，该转让对债务人不发生效力。
债权转让的通知不得撤销，但是经受让人同意的除外。
《民法典》第五百四十七条【债权转让时从权利一并变动】债权人转让债权的，受让人取得与债权有关的从权利，但是该从权利专属于债权人自身的除外。
受让人取得从权利不因该从权利未办理转移登记手续或者未转移占有而受到影响。