根据法律的规定，清偿被继承人债务的程序和方法有两种：
1、继承开始以后，各个继承人在遗产分割之前，应首先用被继承人遗留下来的财产来清偿被继承人遗留的债务，清偿后剩余的财产，才作为实际存在的遗产按照遗嘱或法定继承来进行分割。清偿债务的重要原则就是法定继承的财产优先用于清偿：如果几个继承人中既有法定继承人，又有遗嘱继承人和受遗赠人时，一般地说，应先用应发生法定继承的遗产清偿债务，然后用遗嘱或遗赠扶养协议中的财产进行清偿。
2、继承开始以后，各个继承人先根据遗嘱或者法律规定对遗产进行分割，然后按照各自所继承到的遗产份额的多少，按比例分别承担清偿被继承人债务的责任。如果遗产已被分割完毕而未清偿债务时，首先由法定继承人用继承到的遗产清偿债务。若其所得遗产不足以清偿时，剩余的债务由遗嘱继承人和受遗赠人，按所得遗产的比例偿还。如果只有遗嘱继承和遗赠的，没有遗产剩余再发生法定继承的，应当由遗嘱继承人和受遗赠人按比例所得遗产偿还。
法律依据：
《中华人民共和国继承法》第三十三条
继承遗产应当清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务，缴纳税款和清偿债务以他的遗产实际价值为限。超过遗产实际价值部分，继承人自愿偿还的不在此限。继承人放弃继承的，对被继承人依法应当缴纳的税款和债务可以不负偿还责任。
《最高人民法院关于贯彻执行〈中华人民共和国继承法〉若干问题的意见》第六十二条
遗产已被分割而未清偿债务时，如有法定继承又有遗嘱继承和遗赠的，首先由法定继承人用其所得遗产清偿债务;不足清偿时，剩余的债务由遗嘱继承人和受遗赠人按比例所得遗产偿还;如果只有遗嘱继承和遗赠的，由遗嘱继承人和受遗赠人按比例所得遗产偿还。