《合同法》规定，承运人应当在约定期间或者合理期间内将旅客、货物安全运送到约定地点。承运人应当对运输过程中旅客的伤亡承担损害赔偿责任，但伤亡是旅客自身健康原因造成的或者承运人证明伤亡是旅客故意、重大过失造成的除外。前款规定适用于按照规定免票、持优待票或者经承运人许可搭乘的无票旅客。公交公司违反了安全运送乘客的义务，导致乘客在乘车过程中手受伤，公交公司有义务对其安全负责。乘客可以要求公交公司承担损害赔偿责任。
法律依据:
《合同法》第三百零二条 【旅客伤亡的损害赔偿责任】承运人应当对运输过程中旅客的伤亡承担损害赔偿责任，但伤亡是旅客自身健康原因造成的或者承运人证明伤亡是旅客故意、重大过失造成的除外。前款规定适用于按照规定免票、持优待票或者经承运人许可搭乘的无票旅客。