遗嘱继承公证程序这样进行：
(一)填写公证申请表，同时向公证机关提交下列证件和材料：
1、当事人的身份证明。
2、被继承人的死亡证明。
3、被继承人所遗留财产的产权证明。
4、被继承人生前立的遗嘱原件。
5、当事人与被继承人关系的证明。
6、公证机构要求提交的其他材料。
(二)公证处受理了当事人的申请后，全面审查有关公证事项，主要应查明以下问题：
1、被继承人的死亡时间、地点、死因等。
2、遗产的种类范围、数量等。
3、被继承人生前是否立有遗嘱。
(三)审核通过后予以受理，并出具受理通知单，继承人凭受理通知单办理立案、编号、付费等手续，最后携带本人身份证及公证费缴纳发票即可领取公证书。
法律依据：
《公证法》
第二十八条 公证机构办理公证，应当根据不同公证事项的办证规则，分别审查下列事项：
(一)当事人的身份、申请办理该项公证的资格以及相应的权利;
(二)提供的文书内容是否完备，含义是否清晰，签名、印鉴是否齐全;
(三)提供的证明材料是否真实、合法、充分;
(四)申请公证的事项是否真实、合法。
第二十九条 公证机构对申请公证的事项以及当事人提供的证明材料，按照有关办证规则需要核实或者对其有疑义的，应当进行核实，或者委托异地公证机构代为核实，有关单位或者个人应当依法予以协助。
第三十条 公证机构经审查，认为申请提供的证明材料真实、合法、充分，申请公证的事项真实、合法的，应当自受理公证申请之日起十五个工作日内向当事人出具公证书。但是，因不可抗力、补充证明材料或者需要核实有关情况的，所需时间不计算在期限内。