变更抚养关系可以私下协议吗

可以。如果双方都自愿变更子女的抚养关系而且已经达成一致意见，双方只要签订一个变更协议，表明变更的事实即可。双方协商不一致的情况下，可以起诉至法院，由法院予以裁决。
根据法律规定，具有下列情形之一，父母一方要求变更子女抚养关系的，人民法院应予支持：
(一)与子女共同生活的一方因患严重疾病或者因伤残无力继续抚养子女;
(二)与子女共同生活的一方不尽抚养义务或有虐待子女行为，或者其与子女共同生活对子女身心健康确有不利影响;
(三)已满八周岁的子女，愿随另一方生活，该方又有抚养能力;
(四)有其他正当理由需要变更。