劳动者因工遭受工伤事故，导致严重伤害时，其本人或者近亲属有权申请工伤认定。工伤职工被所在地社会保险行政部门认定为工伤后，如果劳动者伤情较重，比如存在断了手指的严重情形，还需要在伤情相对稳定后或者停工留薪期满时，由工伤职工或者其用人单位向设区的市级劳动能力鉴定委员会提出劳动能力鉴定。
但具体断手指是否可以评上伤残以及可以评上几级伤残，这是一个专业的医学技术问题，同时也与断的哪根手指、断了几根，断后恢复情况等情形密切相关。在此律师建议受伤职工或者其近亲属，切莫做无意义的猜测，在申请鉴定前，可以向当地有鉴定资质的司法鉴定机构或者医学机构咨询伤残等级，在申请鉴定后，以当地市一级劳动能力鉴定委员会的鉴定结论为准。
法律依据：
《工伤职工劳动能力鉴定管理办法》第七条
职工发生工伤，经治疗伤情相对稳定后存在残疾、影响劳动能力的，或者停工留薪期满(含劳动能力鉴定委员会确认的延长期限)，工伤职工或者其用人单位应当及时向设区的市级劳动能力鉴定委员会提出劳动能力鉴定申请
《工伤职工劳动能力鉴定管理办法》第十条
劳动能力鉴定委员会应当视伤情程度等从医疗卫生专家库中随机抽取3名或者5名与工伤职工伤情相关科别的专家组成专家组进行鉴定。