口头敲诈勒索的举证方式主要有：
1、保留敲诈勒索的语音信息，如语音通话录音等；
2、寻找一位知情人，请他作证；
3、收集证据证明对方进行了威胁，并且威胁的目的是获得利益。
对方口头敲诈勒索是否构成犯罪，要结合具体情节和敲诈的数额确定 。
我国司法解释规定，涉案金额2000元至5000元以上的就属于追诉标准。不构成犯罪的，可按照《治安管理处罚法》处罚。
相关法律规定：
《中华人民共和国刑法》第二百七十四条 敲诈勒索公私财物，数额较大或者多次敲诈勒索的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；数额巨大或者有其他严重情节的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；数额特别巨大或者有其他特别严重情节的，处十年以上有期徒刑，并处罚金。