行为人触犯故意杀人罪，被害人或其近亲属可以提起刑事附带民事诉讼，行为人根据《最高人民法院关于审理人身损害赔偿案件适用法律若干问题的解释》的相关规定予以赔偿。行为人自首不影响民事赔偿的数额，但可以减轻刑事案件中的刑罚。
法律依据:
《中华人民共和国刑法》第二百三十二条规定：
《刑法》
第67条：犯罪以后自动投案，如实供述自己的罪行的，是自首。对于自首的犯罪分子，可以从轻或者减轻处罚。其中，犯罪较轻的，可以免除处罚。
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