无论婚姻关系存续期内还是离婚后父母均有抚养孩子的法定义务。婚姻关系存续期内无能力抚养孩子的父母可将孩子送养给生父母的亲属、朋友抚养，抚养人与被抚养人的关系不适用收养关系，也就是说孩子被生父母的亲属、朋友抚养的，孩子与被抚养人不形成养父母、子女关系，孩子与生父母也不丧失父母子女关系。或者送养给具备收养条件的收养人。收养应当向县级以上人民政府民政部门登记。收养关系自登记之日起成立。收养关系成立后，公安部门应当依照国家有关规定为被收养人办理户口登记。
离婚后直接抚养孩子一方欲放弃抚养权需要与另一方协商变更孩子的抚养权，签订抚养权变更协议，由法院确认变更协议的效力，或者出现直接抚养一方不利于抚养孩子的可向法院起诉变更抚养权。
在这里律师建议父母是孩子的监护人，孩子与父母的关系不因父母婚姻关系的变化而变化，无论抚养权是否放弃，父母双方都应从有利于孩子成长的角度出发，为孩子创造更加健康舒适的成长环境。

法律依据：
《婚姻法》第二十一条父母对子女有抚养教育的义务;子女对父母有赡养扶助的义务。
父母不履行抚养义务时，未成年的或不能独立生活的子女，有要求父母付给抚养费的权利。
子女不履行赡养义务时，无劳动能力的或生活困难的父母，有要求子女付给赡养费的权利。
禁止溺婴、弃婴和其他残害婴儿的行为。
最高人民法院《关于审理离婚案件处理子女抚养问题的若干意见》第十五条
离婚后，一方要求变更子女抚养关系的，或者子女要求增加抚育费的，应另行起诉。