首先，监护权既是权利,也是义务,父母对子女有抚养的义务,不能放弃。如果实在没有抚养能力，可以和孩子另一位监护人协议变更孩子抚养权。如果双方都没有能力抚养孩子，有孩子祖父母或者外祖父母协议孩子的抚养权。
监护权虽然不能放弃，但如果监护权人未尽到监护责任，导致被监护人造成他人人身和财产损失的，则由监护人承担相应的赔偿责任；如果故意不履行监护义务，损害被监护人利益并造成严重后果的，可能被追究遗弃罪、故意伤害罪等刑事责任。
法律依据：
《刑法》
第二百六十一条对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的，处五年以下有期徒刑、拘役或者管制。
《民法总则》第二十七条　父母是未成年子女的监护人。
未成年人的父母已经死亡或者没有监护能力的，由下列有监护能力的人按顺序担任监护人：
(一)祖父母、外祖父母;
(二)兄、姐;
(三)其他愿意担任监护人的个人或者组织，但是须经未成年人住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门同意。