医疗责任鉴定申请程序是：
1、患者及家属自知道或者应当知道其身体健康受到损害之日起1年内，可以申请医疗事故鉴定。
2、医患双方协商解决医疗事故争议时，需要进行医疗事故技术鉴定的，由医患双方直接向负责医疗事故技术鉴定工作的医学会申请鉴定。
3、医患双方中的任一方提出鉴定要求，要向医疗机构所在辖区的区(市)卫生局提出申请，由区(市)卫生局受理，委托负责医疗事故技术鉴定工作的医学会组织鉴定。
4、医疗事故争议中患者死亡或可能为二级以上医疗事故的，当事人要直接向市卫生局提出鉴定申请，由市卫生局委托医学会进行鉴定。
5、患者或医疗单位对市级鉴定结论不服的，应在收到鉴定书15日内向省医学会申请再次鉴定。
法律依据：
《医疗事故处理条例》第二十条
卫生行政部门接到医疗机构关于重大医疗过失行为的报告或者医疗事故争议当事人要求处理医疗事故争议的申请后，对需要进行医疗事故技术鉴定的，应当交由负责医疗事故技术鉴定工作的医学会组织鉴定;医患双方协商解决医疗事故争议，需要进行医疗事故技术鉴定的，由双方当事人共同委托负责医疗事故技术鉴定工作的医学会组织鉴定。
第二十二条
当事人对首次医疗事故技术鉴定结论不服的，可以自收到首次鉴定结论之日起15日内向医疗机构所在地卫生行政部门提出再次鉴定的申请。
第二十四条 医疗事故技术鉴定，由负责组织医疗事故技术鉴定工作的医学会组织专家鉴定组进行。
参加医疗事故技术鉴定的相关专业的专家，由医患双方在医学会主持下从专家库中随机抽取。在特殊情况下，医学会根据医疗事故技术鉴定工作的需要，可以组织医患双方在其他医学会建立的专家库中随机抽取相关专业的专家参加鉴定或者函件咨询。
符合本条例第二十三条规定条件的医疗卫生专业技术人员和法医有义务受聘进入专家库，并承担医疗事故技术鉴定工作。