监护人不可以放弃监护。根据《民法总则》第27条规定：“未成年人的父母是未成年人的监护人。”父母对未成年孩子的监护是基于父母子女关系而产生的，除非因父母死亡、父母丧失监护能力、父母子女监护关系依法终止或监护权被依法剥夺外，任何个人和组织不得对监护权加以剥夺和限制。
无论父母离婚与否，父母双方都对孩子享有监护权，并承担监护人义务。
根据法律的规定，父母作为孩子的法定监护人是没有权利放弃自己对孩子的监护权的。
未成年人的父母死亡或没有监护能力的，依次由祖父母和外祖父母、兄姐、关系密切的亲属或朋友、父母单位和未成年人住所地的居委会或村委会、民政部门担任监护人。成年精神病人的法定监护人的范围和顺序是：配偶、父母、成年子女、其他近亲属、关系密切的亲属或朋友、精神病人所在单位或住所地的居委会、村委会、民政部门。
法律依据：
《中华人民共和国民法总则》第二十七条
父母是未成年子女的监护人。
未成年人的父母已经死亡或者没有监护能力的，由下列有监护能力的人按顺序担任监护人：
(一)祖父母、外祖父母;
(二)兄、姐;
(三)其他愿意担任监护人的个人或者组织，但是须经未成年人住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门同意。
《中华人民共和国民法总则》第二十八条
无民事行为能力或者限制民事行为能力的成年人，由下列有监护能力的人按顺序担任监护人：
(一)配偶;
(二)父母、子女;
(三)其他近亲属;
(四)其他愿意担任监护人的个人或者组织，但是须经被监护人住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门同意。