根据我国民事诉讼法的相关规定，人民法院适用普通程序审理一审民事案件的审限为6个月;有特殊情况需要延长的，由本院院长批准，可以延长6个月，还需要延长的，报请上级法院批准。适用简易程序审理案件的审限为3个月，不能延长，若3个月内不能审结，转为普通程序继续审理。二审审限一般3个月，人民法院审理二审民事案件一律适用普通程序，针对判决的上诉案件，审限为3个月，有特殊情况需要延长的，由本院院长批准;针对裁定的上诉案件，审限为30天，不能延长。依照审判监督程序再审案件的审限依据适用的程序确定，按照一审程序再审的用一审普通程序的审限，按照二审程序再审的适用二审程序的审限。因此，起诉变更抚养权时间要根据当时情况所定的，一般情况下是6个月。
法律依据：
《民事诉讼法》第一百四十九条 审限 人民法院适用普通程序审理的案件，应当在立案之日起六个月内审结。有特殊情况需要延长的，由本院院长批准，可以延长六个月；还需要延长的，报请上级人民法院批准。
第一百七十六条 二审审限 人民法院审理对判决的上诉案件，应当在第二审立案之日起三个月内审结。有特殊情况需要延长的，由本院院长批准。 人民法院审理对裁定的上诉案件，应当在第二审立案之日起三十日内作出终审裁定。