双方都同意变更抚养权的应该怎么做

根据最高人民法院关于适用《中华人民共和国民法典》婚姻家庭编的解释（一）第五十七条，双方经过协商都同意变更抚养权的，应签订变更抚养权协议。为防止变更抚养权后发生其他纠纷，可以到公证处办理变更抚养权协议公证。
变更抚养权协议公证，父母双方需亲自到场。如果对变更子女抚养权协商不成的，需要到法院诉讼解决。
有以下理由要求变更子女抚养权的，法院会予以支持：
1、与子女共同生活的一方因患严重疾病或因伤残无力继续抚养子女的；
2、与子女共同生活的一方不尽抚养义务或有虐待子女行为，或其与子女共同生活对子女身心健康确有不利影响的；
3、八周岁以上未成年子女，愿随另一方生活，该方又有抚养能力的；
4、有其他正当理由需要变更的。